丘成桐

中国数学的喜与忧

在汉朝，中国数学家已经开始研究如何去解方程式，包括计算立方根，到宋朝时，已经可以解多次方程，比西方早几百年，但解决的方法是数字解，对方程的结构没有深入的了解。

一个最简单的问题就是解二次方程：

X²+1=0

事实上，无论X是任何实数，方程的左边总是大于零，所以这个方程式没有实数的解，因此中国古代数学家不去讨论这个方程式。

大约在四百多年前，西方数学家开始注意这个方程，文艺复兴后的意大利数学家发现它跟解三次和四次方程有关。他们知道上述二次方程没有实数解，就假设它还是有解，将这个想象中的解叫作虚数。

虚数的发现很了不起！有了虚数后，西方学者发现所有多项式都有解，而且解的数目刚好是多项式的次数。所以有了虚数后，多项式的理论才成为完美的理论。

完美的数学理论很快就得到无穷的应用。事实上，后来物理学家和工程学家发现虚数是用来解释所有波动现象最佳的方法，这包括音乐、流体和量子力学里面波动力学的种种现象。数论研究对象的重要部分是整数，但为了研究整数，我们不能避免地要大量用到复数的理论来帮忙。

在19世纪初叶，柯西和黎曼开始了复变函数的研究，将我们的眼界由一维推广到二维，改变了现代数学的发展。黎曼又引入了Zeta函数，发现了复函数的解析性质可以给出整数中的质数（prime number）的基本性质。另一方面，他也因此开发了高维拓扑这个学科。由于复数的成功，数学家企图将它推广，制造新的数域，但很快就发现除非放弃一些条件，否则那是不可能的。但是哈密尔顿（William Rowan Hamilton）和凯利（Arthur Cayley）先生却在放弃复数域中某些性质后，引进四元数（quarterion）和八元数（Cayley numbers）这两个新的数域。这些新的数域影响了狄拉克（Paul Dirac）在量子力学的构想，创造了狄拉克方程。从这里可以看到数学家和物理学家为了追求完美化而得到重要的结果。

爱因斯坦创造广义相对论时，人类观察到的宇宙空间实在不大，他却得到数学家的大力帮助。在爱因斯坦完成广义相对论后，外尔和很多科学家开始融合引力场理论和电磁场理论，外尔率先提出规范场的理论，经过十年的挣扎，才将麦克斯韦的电磁理论看作和广义相对论类似的规范场论，在物理学上，这是一个伟大的突破。二十多年以后，泡利（Wolfgang Pauli）、杨振宁和米尔斯将规范群推广到非交换群后，完成了一般的规范场理论，成为近代物理学标准模型的基础。

有趣的是，外尔说：假如理论和见到的现象有冲突，而这个理论漂亮而简洁的时候，我宁愿相信理论。这个看法对规范场理论的发展有很大的帮助。在这里，我们又看到了文学家和科学家类似的地方。

将一个问题或现象完美化，然后，将完美化后的结果应用到新的数学理论，来解释新的现象，这是数学家的惯用手法，与文学家有很多相似的地方，只不过文学家用这种手法来表达他们的感情罢了。

在中国古代，很多传说都是凭想象力，根据已知知识夸大地描述很多无法证明的事情。文学家为了欣赏现象或者舒解情怀而夸大，而完美化，但数学家却为了了解现象而构建完美的背景。有些时候，数学家花了几千页纸的理论将一些模糊不清的具体现象用极度抽象的方法去统一、描述、解释。

这是值得惊喜的事：近代数学家在数学不同的分支取得巨大的成果，与文学家的手段极为类似。所以好的数学家最好有人文的训练，从变化多姿的人生和大自然中得到灵感来将科学和数学完美化，而不是禁锢自己的脚步和眼光，只跟着前人的著作，做少量的改进，就以为自己是一个大学者。

我们需要培养一些能望尽天涯路，又能衣带渐宽终不悔的学者，这需要浓郁的文化和感情的背景。中国数学家太注重应用，不在乎数学严格的推导，更不在乎数学的完美化。因此至明清时，中国数学家实在无法跟文艺复兴的数学家相比。直到如今，除了少数两三个大师外，中国数学家走的研究道路基本上还是萧规曹随。在创新的路上提不起勇气，不敢走前人没有走过的路。这一点与中国近几十年来文艺教育不充足，对数理感情的培养不够有关。

到今天，中国的理论科学家在原创性还是比不上世界最先进的水平，我想一个重要的原因是我们的科学家在人文的修养还是不够，对自然界的真和美感情不够丰富。

我们中华民族是一个富有感情和富有深度的民族。上述的文学家、诗人、小说家的作品，并不落后于世界！但是，我们的科学家对人文的修养却不大注意，一些管理教育的官员们却有很奇怪的教育政策，他们似乎认为语文和历史的教育并不重要，转而用一些浅显而没有深度的通识教育来代替这些重要的学问，大概他们以为国外注重通识教育的缘故吧。这种做法其实是舍本逐末。

坦白说，我还没有看到过一个有水平的国家和城市不反复地去教导国民们本国或本地的历史。我两个孩子在美国一个小镇读书。他们在小学、中学，将美国三百年的事情念得滚瓜烂熟！因为这是美国文化的基础。我敢说，不懂或是不熟习历史的国民，必定会认为自己是无根的一代。一般来说，文化的根基比较肤浅的人容易受愚弄和误导，因为他们看不清楚事情的前因后果。

史为明镜，它不单指出古代伟人成功和失败的原因，它也将千年来我们祖先留下来的感情传给我们，我们为秦皇汉武，唐宗宋祖创下的丰功伟绩感到骄傲，为他们的子孙走错的路而感叹！中国五千年丰富的文化使我们充满自信心！我们为什么不好好地利用我们祖先留给我们的遗产？

或许有人说，我不想做大科学家，所以不用这样学。其实这并不矛盾。当一个年轻人对自己要学习的学问怀有浓厚的感情后，学习任何学问都会变得轻而易举。至于数学和语文并重，在先进国家一向是理所当然的。美国比较好的大学招生时，都注重看待SAT中语文和数学部分。

除了考试以外，美国好的中学也鼓励孩子多元化，尽量涉猎包括人文和数理的科目。美国有很多高质量的科普杂志，销量往往都在百万本以上。而中国好的科普杂志不多，销量也少得可怜，从这一点，就可以看到中西文化的差异，希望在未来能够渐渐改进。

最后要指出，数理人文和所谓博雅教育（Liberal education）有着莫大关系。博雅教育的目标广阔，既着眼于基础知识、鉴古知今、推理分析，又能培养学生在艺术上的创造性，兼且对科学的概念和实验的精准性有所了解，同时也强调因材施教，反对重复不断的操练，防止出现过早学科化和专业化的潮流。

以培养专业人才为目标是许多名校的优良传统，但这绝非哈佛大学的使命。哈佛学子在专注于某门学问的同时，学校更希望他们成为一个事事关心、善于分析和独立思考的人，毕业后有志贡献于社会，并不断学习。

美国名校的教育使得不少的学者跨越不同的领域而得到极大的成就。有些学生在本科时读英文系，毕业后却可以成功地创立高科技公司。当代数学物理有极为杰出成就的威腾（Edward Witten）教授在本科时念历史。这些例子在美国名校不胜枚举，但在华人社会却不多见。这应当归功于美国博雅教育的结果，也就是数理人文并重的结果。

中国的教育始终离不开科举的阴影，以考试取士，系统化的出题目，学生们对学问的兴趣集中在解题上，科研的精神仍是学徒制，很难看到寻找真理的乐趣。西方博雅教育的精神确实能开阔我们的视野，激励我们的感情，更能够培养大学问的成长。我写过一本叫作《大宇之形》的科普书，有些物理系教授也用来作为通识课本。多读多看课本以外的书，对我们做学问，为人处世都会有大帮助。

好的文学诗词发自作者内心，而将人与人的关系、人对自然界的感受生动呈现出来。激情处，可以惊天地泣鬼神，而至于万古长存不朽不灭！伟大的科学家不也是同样地要找到自然界的真实和它永恒的美丽吗？

人物简介

丘成桐，当代数学大师，现任哈佛大学讲座教授，1971年师从陈省身在加州大学伯克利分校获得博士学位。发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的变革。解决了卡拉比（Calabi） 猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。年仅33岁就获得代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖（1982），此后获得MacArthur天才奖（1985）、瑞典皇家科学院Crafoord奖（1994）、美国国家科学奖（1997）、沃尔夫奖（2010）等众多大奖。现为美国科学院院士、中国科学院和俄罗斯科学院的外籍院士。

（本报记者陈鹏整理，本文内容与高等教育出版社出版的《数学的艺术》内容有重合，已得到作者认同）